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AXIOMA (James G. Colbert, Jr.)

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AXIOMA

Proviene del griego axioma; su significado original es dignidad, o sea, lo que tiene valor. En filosofía tiene dos empleos. Axioma a secas significa una proposición especialmente importante, es decir, una proposición de la que dependen las demás. En cambio, axiología quiere decir estudio de los valores.

Por James G. Colbert, Jr.*

 

 

Proviene del griego axioma; su significado original es dignidad, o sea, lo que tiene valor. En filosofía tiene dos empleos. Axioma a secas significa una proposición especialmente importante, es decir, una proposición de la que dependen las demás. En cambio, axiología quiere decir estudio de los valores.

El axioma es una proposición primitiva de un sistema científico, es decir, una proposición que se admite sin demostración. A partir del conjunto de axiomas se deduce rigurosamente todas las restantes proposiciones del sistema científico. Además de los axiomas propiamente dichos, el sistema axiomático consta de términos primitivos y reglas. Los términos primitivos carecen de definición; a partir de ellos se definen todos los restantes términos. Las reglas son de dos tipos, las de formación y las de transformación; éstas a veces también se llaman de inferencia. Las reglas de formación son como la gramática del sistema científico en cuestión: nos dicen qué es una proposición significativa dentro del sistema. Las reglas de transformación o de inferencia nos dicen cómo obtener o deducir nuevas proposiciones de las proposiciones ya poseídas.

A veces, en vez de axiomas se habla de «esquemas axiomáticos». Los esquemas axiomáticos son formas o tipos de proposición primitiva en vez de ser proposiciones primitivas concretas. En lenguaje más técnico, son funciones en las cuales aparecen variables. Todas las sustituciones de variables por constantes en los esquemas axiomáticos producen axiomas. Por tanto, cada esquema axiomático da un número indefinido de axiomas concretos.

Postulado a veces se emplea como sinónimo de axioma. Pero también se da un sentido más específico a postulado, el de una proposición primitiva en una área concreta del conocimiento, por ejemplo, los postulados geométricos de Euclides.

Pensamiento griego

El desarrollo de la geometría griega coincide con la actividad de Platón y Aristóteles cronológicamente. Aunque la formalización de la geometría por Euclides es un poco posterior a Aristóteles, el Estagirita ya conocía el tipo de sistema geométrico ordenado que parte de unos postulados y que define todo término que aparece a lo largo del sistema a partir de unos conceptos iniciales tenidos por intuitivos.

Se dice a menudo que Aristóteles como biólogo se interesaba por lo cualitativo mientras que Platón y los pitagóricos hacían hincapié en la importancia de las relaciones matemáticas. Sin embargo, el modelo de la ciencia que sigue Aristóteles en sus Segundos Analíticos se basa en la geometría. Aristóteles opinaba que la ciencia debe partir de unos axiomas. Estos axiomas serían principios directamente aprehendidos. Se captarían con más o menos esfuerzo, se formularían más o menos bien; pero una vez alcanzados serían intuitivamente obvios. Hay una capacidad mental de ver principios o axiomas, llamada nous o intellectus. En cambio, el relacionar u ordenar proposiciones una con otra se llama episteme o scientia.

Además de ser mejor conocidos que las demás proposiciones, los axiomas son causas de las demás proposiciones. Es decir, expresan la razón por la que todo lo demás ocurre.

Está claro que en la historia no se pueden sentar unos axiomas de donde se siga todo lo demás. Por tanto, desde el punto de vista aristotélico es que la historia no es ciencia. La misma ética y ética política en la que Aristóteles llevó a cabo valiosas investigaciones empíricas es menos ciencia que la física, al tratar la ética de decisiones prudenciales que versan sobre lo singular e inexacto.

Racionalismo

El proyecto de axiomatizar la filosofía no se llevó a cabo ni en Grecia ni durante la Edad Media. Se buscaban los primeros principios; se intentaba extraer todas las conclusiones de ellos; la teología en particular podía parecer axiomática, ya que se procuraba ver las inferencias de los dogmas revelados; pero no hubo por lo general una formulación rigurosa de la filosofía según el modelo geométrico.

En cambio, a partir de Descartes, muchos filósofos seguían un método lo más geométrico posible. Descartes, genio de la geometría algebraizada, buscaba ideas claras y distintas que tuvieran tanto valor para fundamentar la filosofía como tienen los postulados de Euclides para fundamentar la geometría. Tras largas meditaciones, Descartes llegó a la proposición «Cogitoergosum» (Pienso, luego existo) como base indudable para su sistema.

Spinoza tituló su obra principal Ethica more geometrico demonstrata. Llevó a cabo el proyecto aristotélico de axiomatizar la filosofía. Es fundamental la definición de la sustancia como «aquello que es en sí y no precisa de otra cosa para existir». Ya que sólo Dios es sustancia según semejante definición, Spinoza llegó a conclusiones de cariz panteísta.

Lógica matemática

Desde hace cien años los lógicos han perseguido tenazmente la axiomatización de su ciencia, labor que en la Edad Media se había abordado de modo más bien parcial. La apoteosis de los sistemas axiomáticos es Principia Mathematica de Whitehead y Russell. Allí de unos pocos axiomas se intenta deducir toda la lógica y la matemática, porque siguiendo al lógico alemán Gottlob Frege, Whitehead y Russell creían que la matemática era simplemente una parte de la lógica.

Hubo varias modificaciones posteriores a Principia Matemática; por ejemplo, David Hilbert mostró cómo es posible prescindir de uno de los cinco axiomas de la lógica proposicional de Principia Mathematica, que resultó no ser independiente de los demás.

Lukasiewicz, como resultado de una meditación sobre el Peri Hermeneias de Aristóteles, describió un sistema en que las proposiciones, además de verdaderas o falsas, podrían ser indeterminadas; en términos técnicos construyó una lógica trivalente en vez de bivalente. Autores como Post escribieron sobre lógicas de muchos valores veritativos, es decir, polivalentes. Otros lógicos experimentaron con sistemas que no incluían el concepto de negación.

Con todo esto se modifica el mismo concepto de axioma. En el caso de Principia Mathematica, los axiomas no son lo que es mejor conocido que las conclusiones. Las relaciones matemáticas, por ejemplo, 3+5=8, son mucho más obvias que la definición de número o las proposiciones acerca de conjuntos. Asimismo el principio de no contradicción es más evidente que el llamado principio de sumación, aunque formalmente el principio de no-contradicción no es axiomático, sino derivado en Principia Mathematica. El axioma se ha convertido en un medio de economía intelectual. Se hace una especie de juego lógico en el que se pretende obtener el mayor número de conclusiones posibles del menor número de principios posibles.

Posteriormente se construyen sistemas axiomáticos como meros cálculos. Se pretende ver cuáles son las conclusiones al variar axiomas. Es el caso de las llamadas lógicas heterodoxas como las polivalentes mencionadas arriba. Muchos lógicos actuales consideran que tales cálculos no son lógica sino matemática.

En cualquier caso, se ha abandonado el concepto de que los axiomas expresan las causas reales de todo lo que ocurre. Los axiomas meramente implican las conclusiones. No las causan. Esto ocurre hasta en las ciencias naturales, según muchos filósofos de la ciencia, notablemente los neopositivistas. Actualmente, las leyes físicas son expresiones matemáticas. Se busca una expresión matemática comprehensiva y sencilla que permite prever, pero no se considera que semejante ley exprese una causa. Incluso se mantiene que los mismos conceptos de la teoría más general son mecanismos de contabilidad, es decir, nos permiten organizar todas las leyes descriptivas, que a su vez nos permiten organizar todos los datos experimentales. Desde el punto de vista de la lógica formal, se podrían deducir las leyes de la teoría y los resultados experimentales de las leyes, pero lo que mejor conocemos son los hechos concretos y lo que peor conocemos son los axiomas.

Sistemas axiomáticos

Hay diversos problemas que surgen en torno al concepto de sistema axiomático. Estas cuestiones han sido investigadas por el matemático Kurt Goedel y otros. Estos problemas se resumen en las cuestiones de completud, decidibilidad, independencia y no contradicción (también llamada consistencia).

Ya que se pretende organizar toda una área de conocimiento hay que preguntarse si los axiomas son suficientes para engendrar todas las proposiciones verdaderas de esa área. Es decir, si los axiomas son completos.

Una forma de establecer la completud es inventar un procedimiento de decisión. Por procedimiento de decisión se entiende un método de decidir la verdad o falsedad de cualquier proposición dentro del área de que se trata. En la lógica proposicional hay dos procedimientos decisorios: el de tablas veritativas y el de fórmulas normales o canónicas. En cambio, en la matemática hay proposiciones indecidibles, es decir, proposiciones significativas cuya verdad o falsedad es desconocida, por ejemplo, hay una conjetura que afirma que todo número es la suma de dos números primos. Esto parece cierto para todos los casos que uno quiera comprobar experimentalmente, pero no hay demostración de la tesis y, por tanto, carecemos de prueba que excluya que lo contrario ocurra alguna vez. Cuando el procedimiento de decisión depende de los axiomas del sistema en cuestión, como ocurre en el citado método de formas canónicas, tenemos una garantía de la completud del sistema.

No sólo es necesario engendrar toda proposición verdadera, sino que hay que demostrar que no pueden surgir contradicciones en el sistema, es decir, que no se puede derribar una proposición y la negación de esa proposición a la vez. En un sistema donde hay una contradicción, cualquier cosa resulta demostrable.

Uno de los elementos necesarios para semejante prueba de no-contradicción es la demostración de independencia de los axiomas. Si los axiomas afirman cada uno algo distinto, no se contradicen. Además son económicos porque no se reducen unos a otros y el sistema se considera elegante. Para que el sistema sea no-contradictorio hay que demostrar que las reglas de transformación o inferencia son conservadoras. Es decir, que conservan los valores veritativos de los axiomas. Dicho de modo vulgar, las reglas de inferencia no pueden aportar algo radicalmente nuevo que no esté contenido en los axiomas.

Obsérvese que la completud, consistencia o no-contradicción, independencia y decidibilidad de los axiomas se busca por demostraciones o métodos mecánicos. No importa que de hecho la aritmética esté libre de contradicciones. Todos estamos seguros de que lo está. Lo que se pretende es establecer esta característica demostrativamente. No importa que por tanteos consigamos probar o refutar todas las proposiciones con que nos encontremos, sino que hace falta establecer un método que garantice que todas las proposiciones son demostrables o refutables. De hecho no hay tal método fuera de la lógica proposicional y el cálculo de funciones inferiores. Gödel y otros han logrado la hazaña de demostrar que la matemática y la teoría de los conjuntos no admiten un método de decisión. Toda la problemática, por tanto, versa sobre la lógica (u otró sistema axiomático); no está dentro de ella, es metalógica, no lógica.

Comentario

Algunas veces se presentan estudios lógicos axiomáticos como sistemas puramente formales: es decir, sistemas que carecen de interpretación y simplemente son el desarrollo de unas reglas. El ajedrez, aparte de posibles interpretaciones imaginativas como una guerra, es un sistema formal. El cálculo de The Laws of Thought, de George Boole, puede interpretarse como lógica proposicional, lógica de términos, una álgebra un poco especial o un cálculo de probabilidades, pero también se puede prescindir de cualquier interpretación. A nuestro modo de ver, esto es perfectamente legítimo como ejercicio matemático, pero la lógica tiene que ver (como decía la Escolástica) con relaciones de razón o (como dirían algunos modernos) con relaciones de implicación que existen entre contenidos ideales. Por tanto, la lógica, aunque es formal, siempre tiene una interpretación.

Por otra parte, el sistema axiomático es una disciplina muy útil. Hace poner todo en claro: definiciones, términos primitivos y modos de definir; conclusiones, primeros principios y modos de concluir. Sin embargo, existe el peligro de suponer que lo que no es axiomatizable no es cierto. En realidad más bien habría que decir que las áreas de la ciencia aún no axiomatizadas son quizá las más vivas.     

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*En Gran Enciclopedia Rialp (GER), Tomo 3, páginas 530 a 532.


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08/06/2005 ir arriba
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